2024年3月18日发(作者：)
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B题 创意平板折叠桌
摘 要
本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体
几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解。
对问题一，依据题目中的数据应用Matlab和SolidWorks软件，对折叠桌的运动过
程进行动态模拟和分析，然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型，应用几何图解
法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：
i
C
i
1
0
最外
侧
2
4.35
6
3
7.66
4
4
10.36
8
5
12.59
3
6
14.39
3
7
15.80
3
8
16.84
5
9
17.53
1
10
17.87
3
最内
侧
说
明
并得到桌角边缘线的方程，见（Ⅰ）
对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢
筋对各个桌腿的力为零。假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析，
桌腿只在两个端点处受力，是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时
桌腿与竖直方向的最大角度
21.8
。给折叠桌一个稳定安全因数
n
s
1.2
，便可得到折叠
桌的安全角度
=18.44
。根据
大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长
度。加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短，当桌高
70 cm，桌面直径80 cm时，解得木板长
a
=167.416cm钢筋距边缘桌腿末端的距离为
a
L
1
x
1
=31.132
cm
2
针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形
状，大小出发，给出软件设计的模型。在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参
数，相应地应用SolidWorks设计新型的平板折叠桌，其中有菱形桌面和椭圆型桌面，
见图6～图12。
关键字：
立体几何图形 动态模拟 自锁 SolidWorks
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一、问题的重述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张
平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条
连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑
动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的
动态变化过程。
试建立数学模型讨论下列问题：
1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接
桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建
立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，
桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折
叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参
数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情
形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边
缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的
最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务
是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创
意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
（附件：视频）
二、基本假设
1、假设折叠桌木条间没有空隙，且木条间的摩擦不计。
2、假设折叠桌木材质量可靠，在受力状态下不会形变。
3、假设桌子各部分间衔接良好。
4、假设折叠桌的木条的宽度和折叠桌平板的厚度不变。
三、符号说明
1、r表示圆桌的直径
2、
x
i
圆桌上第i根木条的长度
3、
p
i
第i根桌腿的长度
4、
c
i
第i根桌腿的槽长
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四、模型的建立与求解
问题一
1、问题的分析
问题一中给出了长方形平板的尺寸为120cm×50cm×3cm，并且给定了钢筋的位置
（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置），折叠后桌子的高度为53 cm（看做桌子上表
面与地面的距离），以及每根木条宽2.5 cm。因此我们首先依据该尺寸，应用Matlab
和SolidWorks 2008软件 在计算机上模拟出该折叠桌的实物，并制作出了一小段动画
如图1和动画演示视频（见附件）。
图1
在此基础上，我们根据折叠桌模型的制作，对该折叠桌进行数学图形的转化，对实
物图进行抽象，如图2，在根据题目中所给的数据进行计算。
①将桌腿看做没有宽的线 ②根据实际将线设定宽度
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③将木条折叠
图2
2、模型的建立（抽象立体图解模型）
图3
在图3中有，
ORr(id
1
2
d)
其中
i
表示第
i
根木条。根据勾股定理可以得到
ARxr
2
[r(id
1
i
2
d)]
2
所以可以得到桌子的每根腿的长度为
p
a
m
RDAR
2
r
2
[r(id
1
2
d)]
2
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①
②
③
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图4
在图4中，当折叠桌的桌腿运动变化时，折叠桌最外侧两条腿
AG
、
DJ
与钢筋
BC
，
铰链
A
、
D
连线所形成的面始终是平面，且
ABCD
为矩形。
作如图辅助线有，
MQHR
在
yOz
面内，
ANPU
垂直于地面，
MNPQ
为地面（
G
、
J
在地面
上），
BS
⊥
MR
交
AN
于
K
，
FL
⊥
HQ
交
EL
于
L
，
NAG
,则有
cos
cosNAG
ANs
④
AGp
1
在
RtABK
中，由勾股定理可得
1
L
1
(s)
2
(hx
1
)
2
， ⑤
2
其中，
AK
1
S
，
BKBSSKhx
1
，
2
从而我们可以得到
h
的值（钢筋在最外侧位置到
yOz
面的距离）。
在
RtEFL
中，由勾股定理可得
EF
2
EL
2
FL
2
，
即
1
2
L
2
(s)(hx
i
)
2
⑥
i
2
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从而我们可以得到
L
i
的值（槽的靠近桌腿端与圆桌面边缘的距离EF）。
进而由上述式子，我们可以得到槽长
C
i
L
i
x
i
(x
1
L
1
)
⑦
在图4中，建立如图所示坐标系，设第i根木条的中心线与圆桌边缘的交点
E(
x
i
,y
i
,0
),则
F
点坐标为
(L
1
sin
x
1
,y
1
,L
1
cos
)
其中,hL
1
sin
x
1
，
所以
EF
的方向向量
EF(hx
i
,0,L
1
cos
)(m,0,n)
.
则
EF
上任意一点
T
的坐标
m
xxt
i
22
mn
⑧
yy
i
n
z0t
22
mn
其中，
t
为参数，
t
表示该点
T
到圆桌边缘
E
点的距离。当
t
面边缘线方程。
3、模型的求解
应用上述模型，我们代入数据：长方形平板的尺寸为120cm×50cm×3cm，并且给定
了钢筋的位置（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置），折叠后桌子的高度为53 cm，
以及每根木条宽2.5 cm。
将
a
=1200mm，
r
=500mm,
d
=25mm代入式②和③可得：当
i
=1,2,…，10时，
AR
长度
x
m
，
折叠桌的桌腿
p
m
的值如表1：
表1
i 1 2
13.1
7
46.8
3
3
16.5
4
43.4
6
4
18.99
8
41.00
2
5
20.87
9
39.12
1
6
22.32
6
37.67
4
7
23.41
9
36.58
1
8
24.20
6
35.79
4
9
24.71
7
35.28
3
10
24.96
9
35.03
1
a
x
i
时，即可以得到桌
2
x
m
7.806
p
m
52.19
4
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因为折叠桌的桌面的底面到地面的距离s=53-3=50mm，可由
cos
外边缘木条与竖直面的夹角
16.67
同时联立⑤⑥⑦可得，折叠桌各木条的槽长C
i
，如表2所示：
s
得：折叠桌最
p
1
表2 折叠桌各木条的槽长
C
i
（
i
=1表示桌腿在最外端，
i
=10表示桌腿在最内端）
i
C
i
1 2
0 4.356
4
3
7.663
7
4
10.368
4
5
12.592
6
6
14.393
0
7
15.803
1
8
16.844
5
9
17.531
4
10
17.872
8
令
tp
m
a
x
i
，可得折叠桌的桌脚边线的方程为：
2
26.1sin
625y
2
7.8
2
x625y
(26.1sin
625y
2
7.8)
2
(26.1cos
)
2
（Ⅰ）
26.1cos
z
22
(26.1sin
625y7.8)(26.1cos
)
通过Matlab软件的plot语句，可得桌面边缘线图形，如图5：
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图5
问题二
1、问题的分析
先对边缘桌脚进行受力分析:
F
N
mg
=
。假设折假设桌子整体重力为mg，则
F
N
=，桌腿保持稳定时，
tan
F
N
4
叠桌放置木板地面上，经查资料可知，木头与木头之间的摩擦因数
的取值范围在0.4
—0.6之间，考虑到桌子的必须保持稳固，取
=0.4
，得到
=21.8
。由此可知，当折叠
桌保持稳定时，边缘桌腿与竖直方向的夹角取值范围是
0
21.8
。
题中要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
当
较小时，在同一侧的边缘桌脚距离小，折叠桌不稳定，因此给出折叠桌的安全
因数
n
s
1.2
，
tan
1
=
，得到
=18.44
1.23
2、模型的建立与求解
折叠桌的稳固性好，要求
0
21.8
，加工方便，需要木条的槽长之和最短，用
材最少，则材料面积小。因此考虑多目标规划问题中的加权系数法。
为参变量，木条
的槽长之和最短
Min
c
，材料长度最小（宽度为D，已知）
Min
a为优化目标，但是
i
i1
n
在赋权时，权值分别为0-0.7 与1-0.3时，最优解不变，当权值为0.8和0.2时，最优
解发生突变，因此，加权系数法无法解决折叠桌的设计问题。因此我们转而考虑当
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=18.44
，
折叠桌最稳固时，求各个加工参数的值。
桌面高度已知，桌面直径已知，
=18.44
，加工程度考虑木条槽长的总长，因此得
到：
优化目标为：Min
c
i
i1
n
约束条件为：
（1）圆桌上第
i
根木条的长度与第
i
根桌腿的长度和为木板总长度的二分之一：
p
i
x
i
a
2
（2）边缘桌腿与竖直方向的夹角为
：
s
cos
p
1
（3） 第
i
条桌腿的槽长
c
i
等于折叠桌折叠成桌后钢筋的位置减去折叠桌平铺状态时钢
筋时的位置：
x
i
L
i
x
1
L
1
=c
i
（4） 对在圆桌上第
i
根木条应用勾股定理得：
1
2
x
i
h
s
L
i
2
2
2
（5）由之前的条件可知：
L
1
sin
x
1
=h
1
L
1
cos
=s
2
d
R
2
R
i1
d
x
i
2
2
（6）为了使折叠桌折叠成桌后美观，钢筋在桌面的投影所在直线要与圆形桌面相交：
x
1
hR
2
（7） 折叠桌在折叠过程中，钢筋的位置条件需满足：
RL
1
x
1
a
2
（8）每根木条槽长需要满足的条件为：
0c
i
a
x
1
L
1
2
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n
即：
Min
c
i
i1
a
px
ii
2
s
cos
p
1
x
i
L
i
x
1
L
1
=c
i
2
1
2
xhsL
2
i
i
2
Lsin
x
1
=h
1
s..t
1
L
1
cos
=s
2
2
2
d
R
R
i1
d
x
i
2
2
xhR
1
a
RLx
11
2
0c
a
xL
i11
2
考虑到木料切割加工的方便程度以及视觉上的美观性，我们令桌腿的宽度
d
=2.5cm。
又已知，当桌高70 cm，桌面直径80 cm，将
H
=70，
D
=80，
d
=2.5cm代入约束条件，用
Lingo求解，得到的解如下：
木板长
a
=167.4156cm;
钢筋距边缘桌腿末端的距离为
a
L
1
x
1
=31.13156
cm.
2
每个木条的槽长分别是：
（
i
=1表示桌腿在最外端，
i
=16表示桌腿在最内端）
表3
C
1
C
2
C
3
C
4
C
5
C
6
C
7
C
8
0
C
9
5.31809 9.40562 12.88843 15.93904 18.63415 21.01642 23.11304
C
10
C
11
C
12
C
13
C
14
C
15
C
16
24.9430 26.5203 27.8557 28.9573 29.8315 30.4832 30.9158 31.1316
C
17
C
18
C
19
C
20
C
21
C
22
C
23
C
24
31.1316 30.9158 30.4832 29.8315 28.9573 27.8557 26.5203 24.9430
C
25
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C
26
C
27
C
28
C
29
C
30
C
31
C
32
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23.1130 21.0164 18.63415 15.93904 12.88843 9.40562 5.31809
0
表4 每根桌腿的长度分别是：
（
i
=1表示桌腿在最外端，
i
=10表示桌腿在最内端）
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
p
6
p
7
p
8
73.7862 66.7981 62.2383 58.7391 55.8971 53.5261 51.5218 49.8192
p
9
p
10
p
11
p
12
p
13
p
14
p
15
p
16
48.3746 47.1573 46.1453 45.3224 44.6766 44.1991 43.8846 43.7273
p
17
p
18
p
19
p
20
p
21
p
22
p
23
p
24
43.7273 43.884 44.1991 44.6766 45.3224 46.1453 47.1573 48.3746
p
25
p
26
p
27
p
28
p
29
p
30
p
31
p
32
49.8192 51.5218 53.52605 55.89705 58.73906 62.23834 66.79811 73.78622
问题三
1、软件设计模型的建立
题目要根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大
致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折
叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们可以类比与问题一中所建立的模型，将桌子的
桌面变换为一般图形，并建立相同的坐标系和辅助线。如将桌面变为椭圆，有：
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2
1
x
i
R
2
R
0
idd
(
i
=1,2,…,10)
2
其中，
x
i
表示桌面上的木条长度的一半（即RA等半弦长），d表示木条宽度，
i
表示第
i
根木条（最外侧为第一根，然后依次向里侧放），
R
0
表示沿坐标轴Oy方向的半径长度(即
O点沿Oy方向到桌子边缘线的距离)，R表示木条中线与桌面图形边缘线的交点到原点O
的距离，
平板长
a2
x
i
p
i
，
p
i
表示第i根木条的桌子腿长，
1
又有
L
i
(s)
2
(hx
i
)
2
，
2
所以槽长：
C
i
L
i
x
i
(x
1
L
1
)
，
当桌面边缘线的形状和大小给定后，可以知道：
R
0
、R，由d可以确定m，从而可
以确定
x
i
。
当给定高度后，可以确定s 若确定桌脚边缘线的大致形状后，可以大致给出h的值，
因此可以得到
L
i
的值，同时由s和h可以确定
大小进而得出桌子长度a的值。
2、自己设计的创意折叠桌
例如，当桌子面为
252cm252cm3cm
时，高度s=563mm，桌脚边缘线致形状为
图7时，可以确定,折叠桌平板的参数为
120cm50cm3cm
，各个木条的桌腿长和对应
的槽长如表5，设计的折叠桌为图6、图7、图8、图9。
表5
i
桌腿长
p
i
槽长
C
i
1
587.5
2
562.5
3
537.5
4
512.5
5
487.5
0 12.9283 27.4312 43.6759 61.8207
6
462.5
7
437.5
8
412.5
9
387.5
10
362.5
i
桌腿长
p
i
槽长
C
i
82.0027 104.3262 128.8526 155.5926 184.5062
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图6
图7
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图8
图9
例如，当桌子面为
40cm20cm3cm
时，高度s=170mm，桌脚边缘线大致形状为图
13时，可以确定,折叠桌平板的参数为
120cm50cm3cm
，各个木条的桌腿长和对应的
槽长如表6，设计的折叠桌为图10、图11、图12、图13。
表6
i
桌腿长pi
槽长ci
1
177.54
0
2
163.13
36.19
3
156.22
31.03
4
153.14
30.09
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图10
图11
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图12
图13
具体创意设计见附件设计1和设计2。
五、模型的评价
在问题一中，建立空间直角坐标系，可以表达出任意一条曲线或者任一曲面的位置和方
程，建模过程较为简单，求解结果较复杂
在问题二中，首要考虑折叠桌的稳固性，先受力分析，在考虑安全因数，求出了折叠后
的
的大小，保证了折叠桌的稳定。没有找到既能保证稳固，又能减少耗材的最优解。
在问题三中，第二个设计的较为简单，并且应用SolidWorks进行设计比较复杂，但是
能够很好的反映模型的各方面的形状和尺寸。
六、参考文献
[1]张秀林，数学建模与实验，化学工业出版社，2012。
[2]章栋恩，MATLAB高等数学实验，电子工业出版社，2008。
[3]袁小梅，刘林，李诚，直纹曲面形屋面的绘制方法.华南理工大学学报，30卷3
期：2002年3月
[4]零点工作室，SolidWorks机械设计一册通，电子工业出版社，2009。
[5]徐玖平，胡知能.运筹学，科学出版社，2009。
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