八上数学难题

2023年12月27日发(作者：穆修已)

蔡昌骁八上数学难题集 我难人难，我不怕难。难者不会，会者不难

第一题：

与直角三形三条边长对应的3个正整数称为勾股数。

活动一：设（a、b、c）为一组勾股数，填表：

a

6

8

10

12

b

8

15

24

c

10

17

26

37

活动二：（1）在表中，a为大于4的偶数，正整数b和c的数量关系是 。b、c和a2之间的关系式是

（2）根据以上规律，写出勾股数（15， ， ）

（3）一般地，当a=2n(n为大于1的正整数)时，请给出计算勾股数的一组公式：

b= c= (用含有a的代数式表示)。

活动三：如图1，已知四边形ABCD是长方形，AB、AC、BC分别对应图2中的面ABB1A1面、BCC1B1面、ACC1A1面，若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1分别用α、β、γ表示，则是否有α2+β2=γ

2仍成立？请说明理由

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第二题

如图，矩形纸片ABCD,AB=7㎝,BC=15㎝,CD上有一点E，CE=6㎝,AD上有一点P,PD=3㎝,过P作PF垂直于AD交BC于F,将纸片沿HQ进行折叠,使P点与E点重合，折痕HQ与PF交于Q点，则PQ的长是 ㎝。

∠∥⊥△

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第三题

如图，在平行四边形ABCD中，EF分别为边ABCD的中点，BD是对角线，AG∥DB,交CB的延长线于点GF，若AD⊥BD，下列结论：①DE∥BF;②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB;④S△BFG=14 (平行四边形ABCD)

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第四题

已知，如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF,将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F’OE(如图2)，当α＝30oj时，说明AE’ ∥BD。

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第五题

（先观察预备图，再做题）

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,分别以ABCD为一边向作正方形ABHG和正方形DCFE，连接GE，取GE的中点P,作射线PA交BC于点M，作射线PD交BC的延长线于点N，试说明，∠PMN=∠PNM

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第六题

已知:△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°。如图甲,连接DE,设M为DE的中点。

（1）说明：MB=MC

（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让RT△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？为什么？

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第七题

如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a,b（a

（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明。

（2）∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ,MN间的距离有何变化，请说明理由。

（3）若∠QPC的角度在翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC'QD，及四边形BPA'N的周长与a,b的关系，为什么?

4.在3题的情况下，当a＝√3时，求菱形BNDM的面积

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第八题

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图案的名称;

(2)如图，在三角形ABC中，点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于点O，若角A等于60度，角DCB等于角EBC等于二分之一角A,请你写出一个与角A相等的角，并猜想图中那个四边形是等对边四边形；

（3）在三角形ABC中，如果角A不是等于60度的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且角DCB等于角EBC等于二分之一角A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

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第九题

如图，以O为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为(0，1)，直线x=1交x轴于点B，P 为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN

（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S于m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由

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第十题

P是y轴上的一个动点,是否存在平行于y轴的直线x=t,使它与y=x直线和直线y=－1／2x+2分别交于点D.E(E在D的上方),且⊿PDE为等腰直角三角形,若存在,求t的值及点p的坐标;若不存在,请说明理由.

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第十一题

设min｛x,y｝表示x,y两个数中的最小值，例如min｛0,2｝=0，min｛12,8｝=8，则关于x的函数y可以表示为（ ）

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第十二题

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；

（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

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如图正方形ABCD中，E.F分别为AD,CD中点，CE,BF交点M,求证：AM=AD

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