§4.7  平面图形的密铺
教学目标
(一)知识目标
平面图形的密铺及多边形密铺的条件.
(二)水平训练目标
1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理水平.
2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形能够密铺，并能使用这几种图形实行简单的密铺设计.
(三)情感与价值观目标
1.在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用.
2.在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际.
教学重点
多边形密铺的条件.
教学难点
使用三角形、四边形或正六边形实行简单的密铺设计.
教学过程
一、巧设情景问题，引入课题
［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？
［生齐］铺有地板砖.
［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？
［生甲］正方形、正六边形.
［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.(出示投影，展示各种地板图片)
［师］这些地板漂亮吗？
［生齐］非常漂亮.
［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.
这节课我们来探索平面图形的密铺.
二、讲授新课
［师］平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.大家愿意美化生活环境吗？
［生齐］愿意.
［师］好，那我们先来探索多边形密铺的条件，大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做：
(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？
(2)用同一种四边形能够密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流.
(3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？(学生动手制作、教师强调：)
［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，能够是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)
［生甲］用形状、大小完全相同的三角形能够密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就能够组合起来镶嵌成一个平面.
从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们能够组成两个三角形的内角，它们的和为360°.
［生乙］用同一种四边形也能够密铺，在用四边形密铺的图案中，每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.
［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.
［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形能够密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想，议一议(出示投影片§4.8 B) (1)正六边形能否密铺？简述你的理由.
(2)分析如下列图，讨论正五边形不能密铺.
(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？(学生分析、讨论、归纳)
［生甲］正六边形能密铺.因为正六边形的每个内角都是：=120°,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙.
［生乙］正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍.如下图，在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°.
［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象.
［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形能够密铺，而其他的正多边形不可密铺.
［师］很好，事实上，对于正n边形，它的每一个内角都为,在每个拼接点处，设能够将m个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，因为这些角的和应为360°，所以有×m=360°  此式可化为：(m－2)(n－2)=4  m、n都是正整数.
所以：m－2,n－2都是4的因子.  所以，m、n的取值仅有三种可能，即：
这正是正多边形的三种能够密铺的情况.当然，一般三角形、四边形也能够密铺.虽然它们的内角未必都相等.(出示投影片§4.8 C)
［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？
［生齐］漂亮.
［师］好，下来我们能够利用多边形设计一些美丽的图案.
m(m＞2)
n
平面镶嵌图案
3
4
5
6
7
［生］老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？
［师］这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不实行讨论.
三、课堂练习
1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否实行密铺？说说你的理由.
答案：能够实行密铺.因为正方形是能够密铺的.这个题仅仅在整个密铺图案中，将其中一个正方形的某一局部平移到了另一正方形的相对应部位，因而它也是能够密铺的.
2.利用习题3.7第三题所得的“鱼”形图案能否密铺？根据上面的思路，自己独立设计一个能
够密铺的“基本单位”图形.
(二)读一读  课本P114漂亮的密铺图案.
(三)试一试
同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料实行实验.
答案：能够密铺(学生实行操作，来实验，从而得证)
(四)看课本P113后总结
四、课时小结
本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形能够镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：
一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.
五、课后作业
课本P115习题4.12  1、2、3；试一试。
六、教后感：
1、数学教学是数学活动的教学，本节课能充分表达新课程精神，充分表达学生主动参与意识，每个同学都能够在不同的场合表现自己。从而使学生在活动中学习数学、感知数学，使人人都能学到有价值的数学，人人都学必需的数学。有些同学能密铺图形，有些同学能摆出图案并设置问题，有些同学能利用正多边形的一个内角的度数归纳能否密铺问题，这也就表达了不同的人在数学上有不同的发展。
2、教学情景的设置，数学活动的安排，表达出创造性的使用教材，学生的探究过程、自我评价张扬了学生的个性，激发了学生的学习热情，表达了《标准》的人文性。本节课把数学活动贯穿于整个教学活动始终，学生参与水准高，在合作学习中教师能有效的组织学生实行小组合作学习与交流活动，老师的引导语言和积极的鼓励性语言，突出了本课时的重、难点，并和谐了课堂气氛；探究过程中安排学生演示来回走动、互问互答，交流合作，注重了学生已有知识和生活经验，使学生感受到数学源于生活，使用于生活。

更多推荐

密铺,学生,平面,能够,图形,数学,四边形,图案