第七章 地形图基本应用
8．1地形图的应用
一、求图上任一点的高程
假设现在要求地形图上一点K的高程，K在两条等高线之间，K点高程可通过等高线平距与高差成正比的原则用线性内插法来求得。
首先过K点画一条直线与两条等高线交于M、N两点，再用尺子量出MK和MN的长度，然后就可以计算出K点到M点之间的高差
（为等高距），那么K点的高程为：
二、求图上任一点A的坐标
现在在地形图上有一点A，过A点做坐标格网的平行线，与坐标格网交于e，f，g，h，量取af，ae，根据地形图的比例尺就可以算出A点坐标：
（M：比例尺分母）
为防止图纸伸缩变形的影响，还应量取fb和ed。若图纸变形使af＋bf≠10cm；ae＋ed≠10cm（注：这是对于10cm的坐标格网而言，假若坐标格网采用其它的长度，那么根据实际的长度进行计算，计算方法也是一样的），则A点坐标：
三、求图上直线的方向
1、图解法
用量角器在图上直接量取。
2、解析法
若A、B不在同一幅图上，或要求精度高一些，可先量出两点的坐标，然后按坐标反算方法，计算方位角，即：
四、求图上两点间的距离
1、图解法
用直尺量取图上距离乘以M，或用比例尺直接量取。
2、解析法
若A、B不在同一幅图上，或要求精度高一些，可先量出两点的坐标，然后按坐标反算方法，计算距离：
五、求图上两点间的坡度
要求图上两点间的坡度，需要先求出两点间的水平距离D和两点间的高差h，然后在计算两点间的坡度。
坡度一般采用三种方法表示：
1.用倾斜百分率（％）或千分率（‰）来表示,计算方法为：
（注意化为百分率或千分率的形式）
这种表示方法一般在道路、渠道、管道建设中用得较多。
2.倾斜角
3.倾斜率
表示边坡的时候常使用，如2/3、1/3、2/5等。
六、在图上做等坡度线
步骤：
1、按限制坡度求出图上等高线间的最小平距d
d=D/M=h/iM
D：按给定坡度，等高线间实际平距
2、从1点起，以d为半径，做弧相交相邻等高线于2点；从2点起，以d为半径，做弧相交相邻等高线于3点；…；直至目的地n点。
3、从1点开始，把n个点用折线连接。有时路线不止一条，应选施工方便，经济合理的一条。
七、绘制剖面图
1、在坐标纸上绘一坐标系，横轴表示水平距离，纵轴表示高程。高程比例尺可根据需要设置成平距比例尺的若干倍；
2、在地形图上画出剖面线，确定起止点M，N；
3、依次量取剖面线与各等高线的交点到M点的距离；
4、将量取的距离及该等高线的高程，按比例尺展绘到坐标纸上；
5、以光滑曲线连接坐标纸上展绘的各点。
八、场地平整时土方量的计算（方格网法）
在一些工程建设之前，首先要平整施工场地，这时就需要进行挖方量和填方量的计算，计算通常是采用方格网法。
图所示为某工程场地的地形图，假设现在要求将工程场地的原始地貌按照挖填平衡的原则改造成水平面，也就是直接在这块场地的高处挖土填到这块场地的低处，挖方量大致要等于填方量。可以按照下面几个步骤计算：
① 在地形图上绘制方格网
方格网大小取决于地形的复杂程度、地形图比例尺的大小和土方计算的精度要求，一般地，方格边长为图上2cm。各方格顶点的高程用线性内插法求出，并注记在相应顶点的右上方。
②计算挖填平衡的设计高程
先将每一方格顶点的高程相加除以4，就可以得到每个方格的平均高程，再将每个方格的平均高程相加除以方格总数，就得到挖填平衡的设计高程，当挖填工作完成后，这时工程场地就会变为一个水平面，那么就是这个水平面的高程，其计算公式为：
分别为每个方格的平均高程。
从图上可以看出，方格网的角点的高程在计算平均高程的时候只用了一次，边点的高程用了2次，（比如在计算左上角方格的平均高程时分别用了2次，其它边点同样都是用2次），拐点的高程用了3次，中点的高程用了4次，因此，设计高程的计算公式可以变换为：
（n为方格的个数）
将图中各个方格的顶点的高程代入公式中就可计算出设计高程为33.04m，然后在地形图上就可以内插出33.04m的等高线（图中虚线就是内插出的等高线），这条等高线就是挖填平衡的边界线，在边界线的左侧高程要大一些，因此是要挖方的区域，在右侧高程要小一些，因此是要填方的区域。
③计算挖填高度
将各方格顶点的高程减去设计高程即得到各个方格顶点得挖、填高度，并把它注明在各方格顶点的右上方。
④计算挖填土方量
计算挖填土方量时是将角点、边点、拐点、中点分别计算，计算公式为
挖填土方量的计算可以利用EXCEL表格，最后将角点、边点、拐点、中点所得到的填方量或挖方量各自相加，就可得到总的挖方量或总的填方量，总的挖方量和总的填方量应该基本相等。
８.２数字高程模型
1．地表形态表达：从模拟到数字
1．地表形态表达：从模拟到数字
地球是人类生活和活动的承载体。千百年来，人们为了认识自然和改造自然，不断的尝试着用各种方法来描述、表达周围的环境信息，利用地形图进行地形表面形态的表达便是其中之一。
早期由于测量知识的缺乏，对地形表面形态的描述主要采用象形绘图方法进行，例如山体用岩石堆符号表示，山体范围用一系列的“鱼鳞”符号或类似的锥形符号表示，如图1.1所示。17世纪以后，人们逐步意识到地面起伏变化对气温、植被、环境等的深刻影响，对地面形态的表达成为人们愈来愈关心的问题，而在同期出现的浪漫主义表现手法又把自然景观作为其主要的表现形式之一，因此以写景方式进行地形刻画成为这一时期的主流，如先后出现的透视写景图、晕滃法、斜视区域图、地貌写景图、地貌形态图、地貌单元图等（图1.1）。虽然这些方式实现了在二维介质上对三维地形表面的表示和描述，在人类对自身环境认识过程中也发挥了重要作用，但由于写景方式不具备可量测性，并不是进行地表形态描述的理想方式。
18世纪，随着测绘技术的发展，使得高程数据和平面位置数据的获取成为可能，对地形的表达也由写景式的定性表达逐步过渡到以等高线为主的量化表达。用等高线进行地表形态描述具有直观、方便、可量测等特性，是制图学历史上的一项最重要的发明。在等高线
早期由于测量知识的缺乏，对地形表面形态的描述主要采用象形绘图方法进行，例如山体用岩石堆符号表示，山体范围用一系列的“鱼鳞”符号或类似的锥形符号表示，如图1.1所示。17世纪以后，人们逐步意识到地面起伏变化对气温、植被、环境等的深刻影响，对地面形态的表达成为人们愈来愈关心的问题，而在同期出现的浪漫主义表现手法又把自然景观作为其主要的表现形式之一，因此以写景方式进行地形刻画成为这一时期的主流，如先后出现的透视写景图、晕滃法、斜视区域图、地貌写景图、地貌形态图、地貌单元图等（图1.1）。虽然这些方式实现了在二维介质上对三维地形表面的表示和描述，在人类对自身环境认识过程中也发挥了重要作用，但由于写景方式不具备可量测性，并不是进行地表形态描述的理想方式。
18世纪，随着测绘技术的发展，使得高程数据和平面位置数据的获取成为可能，对地形的表达也由写景式的定性表达逐步过渡到以等高线为主的量化表达。用等高线进行地表形态描述具有直观、方便、可量测等特性，是制图学历史上的一项最重要的发明。在等高线
地形图上，对地形起伏、地物等的描述不再是象形符号、色彩或明暗的变化，而是正交地投影在水平面上，相邻高程相等的点连接而成的闭合曲线表示地形起伏特征和形态结构，线划符号表示按比例缩小的地物，如图1.1所示。
19世纪初期，平版印刷技术的发展使得用连续色调变化和阴影变化模拟不规则的地表形态特征成为可能。但直到19世纪后期，才将地貌晕渲作为一种区域符号广泛地应用于地形表达之中，阴影变化具有显示斜坡的能力（图1.1）。
由于等高线地形图的可量测性，地貌晕渲表示地形结构的所具有的三维可视化效果，这两种方法成为20世纪以来地形图的主要表示方法和手段。
与各种线划图形相比，用影像记录景观现象无疑具有更大的优点，如地形特征表达细节丰富、直观逼真、图形获取快速等，因此摄影技术一经出现就被广泛地用来记录丰富多彩、千姿百态的自然景观现象。从1849年开始，就出现了利用地面摄影测量进行地形图编绘技术。20世纪初期航空技术的发展，使得摄影测量从地面走向空中，航空摄影测量技术从此诞生。利用航空摄影测量相片，不仅可获取地面景观的平面影像，而且通过多张具有一定重叠度的航摄相片可以重建实际地形表面的立体模型，并在仪器帮助下进行精确的三维量测，如同在以缩小的地形模型上进行实地测量一般。航空摄影测量技术的出现，使得影像
19世纪初期，平版印刷技术的发展使得用连续色调变化和阴影变化模拟不规则的地表形态特征成为可能。但直到19世纪后期，才将地貌晕渲作为一种区域符号广泛地应用于地形表达之中，阴影变化具有显示斜坡的能力（图1.1）。
由于等高线地形图的可量测性，地貌晕渲表示地形结构的所具有的三维可视化效果，这两种方法成为20世纪以来地形图的主要表示方法和手段。
与各种线划图形相比，用影像记录景观现象无疑具有更大的优点，如地形特征表达细节丰富、直观逼真、图形获取快速等，因此摄影技术一经出现就被广泛地用来记录丰富多彩、千姿百态的自然景观现象。从1849年开始，就出现了利用地面摄影测量进行地形图编绘技术。20世纪初期航空技术的发展，使得摄影测量从地面走向空中，航空摄影测量技术从此诞生。利用航空摄影测量相片，不仅可获取地面景观的平面影像，而且通过多张具有一定重叠度的航摄相片可以重建实际地形表面的立体模型，并在仪器帮助下进行精确的三维量测，如同在以缩小的地形模型上进行实地测量一般。航空摄影测量技术的出现，使得影像
数据获取在周期、覆盖面、应用范围等方面大幅度提高。
20世纪60年代以后，随着空间技术、通信技术等的迅速发展，在航空摄影测量、航空地质探矿、航空像片判读应用发展的基础上诞生了遥感科学技术。伴随着70年代美国地球资源卫星（LandSat）的升空，地形观测从航空发展到航天，遥感技术获得极为广泛的应用。在遥感技术中，除使用对可见光摄影的框幅式黑白摄影机外，还使用了彩色或彩红外摄影机、全景摄影机、红外扫描仪、多波段扫描仪、雷达扫描仪、微波扫描仪、成像光谱仪、CCD推扫式逐行扫描仪、矩阵数字摄影机等，比常规黑白像片能提供更为丰富的几何、物理等影像信息。
无论是等高线地形图、地貌晕渲图还是影像，都是在二维环境中对三维现实世界的模拟和表达。对地形表面形态表达而言，一方面我们尽可能的从几何模型角度去理解和描述，以解决实际应用中的可量测性，另一方面它本身是一种三维景观现象，对它的描述要考虑视觉生理感受。这是一对矛盾体，也就是说二维表达的可量测性和三维的立体模型表达之间在本质上是不能共存的。也正因为如此，寻找一种既能符合人们视觉生理习惯、又能恢复真实地形而又具有可量测性的地形表达方法是几千年来制图、测绘等领域的孜孜不倦的研究目标。等高线地形图、地貌晕渲图、分层设色图、影像等单一表现手法都不能从根本
20世纪60年代以后，随着空间技术、通信技术等的迅速发展，在航空摄影测量、航空地质探矿、航空像片判读应用发展的基础上诞生了遥感科学技术。伴随着70年代美国地球资源卫星（LandSat）的升空，地形观测从航空发展到航天，遥感技术获得极为广泛的应用。在遥感技术中，除使用对可见光摄影的框幅式黑白摄影机外，还使用了彩色或彩红外摄影机、全景摄影机、红外扫描仪、多波段扫描仪、雷达扫描仪、微波扫描仪、成像光谱仪、CCD推扫式逐行扫描仪、矩阵数字摄影机等，比常规黑白像片能提供更为丰富的几何、物理等影像信息。
无论是等高线地形图、地貌晕渲图还是影像，都是在二维环境中对三维现实世界的模拟和表达。对地形表面形态表达而言，一方面我们尽可能的从几何模型角度去理解和描述，以解决实际应用中的可量测性，另一方面它本身是一种三维景观现象，对它的描述要考虑视觉生理感受。这是一对矛盾体，也就是说二维表达的可量测性和三维的立体模型表达之间在本质上是不能共存的。也正因为如此，寻找一种既能符合人们视觉生理习惯、又能恢复真实地形而又具有可量测性的地形表达方法是几千年来制图、测绘等领域的孜孜不倦的研究目标。等高线地形图、地貌晕渲图、分层设色图、影像等单一表现手法都不能从根本
上解决这一矛盾，而早些年出现的地貌晕渲和等高线相配合的地形表示方法（图1.1），虽既可满足视觉上的立体效果又具备量测性，但由于制作工艺复杂而使其应用受到局限。
20世纪40年代计算机技术的出现和随后的蓬勃发展，以及相关技术，如计算机图形学、计算机辅助制图、现代数学理论等的完善和实用，各种数字地形的表达方式得到迅速发展。计算机技术在制图、测绘领域中的应用，不但推动着制图、测绘逐步向自动化与数字化、实时处理与多用途的方向发展，改变着地图制图的生产方式，也改变着地图产品的样式和地图应用的概念。借助于地形的数字化表达，现实世界的三维特征以及可量测性能够得到充分而真实地再现。1957年，Roberts首次提出将计算技术应用到摄影测量中。1958年，美国麻省理工学院摄影测量实验室主任Miller教授对计算机和摄影测量技术的结合在计算机辅助道路设计方面进行了实验。他在用立体测图仪所建立的光学立体模型上，量取了设计道路两侧大量的地形点三维空间坐标，并将其输入计算机，由计算机取代人工进行土方计算、方案比选等繁重的手工作业。Miller教授在成功地解决道路工程计算机辅助设计问题的同时，也证明了用计算机进行地形表达的可行性、巨大的应用潜力与经济效益。随后Miller和LaFamme在Photogrammetric Engineering杂志上发表了题为“The digital terrain model: theory and application”的论文，首次提出了数字地形表达的概念：数字地面模型，
20世纪40年代计算机技术的出现和随后的蓬勃发展，以及相关技术，如计算机图形学、计算机辅助制图、现代数学理论等的完善和实用，各种数字地形的表达方式得到迅速发展。计算机技术在制图、测绘领域中的应用，不但推动着制图、测绘逐步向自动化与数字化、实时处理与多用途的方向发展，改变着地图制图的生产方式，也改变着地图产品的样式和地图应用的概念。借助于地形的数字化表达，现实世界的三维特征以及可量测性能够得到充分而真实地再现。1957年，Roberts首次提出将计算技术应用到摄影测量中。1958年，美国麻省理工学院摄影测量实验室主任Miller教授对计算机和摄影测量技术的结合在计算机辅助道路设计方面进行了实验。他在用立体测图仪所建立的光学立体模型上，量取了设计道路两侧大量的地形点三维空间坐标，并将其输入计算机，由计算机取代人工进行土方计算、方案比选等繁重的手工作业。Miller教授在成功地解决道路工程计算机辅助设计问题的同时，也证明了用计算机进行地形表达的可行性、巨大的应用潜力与经济效益。随后Miller和LaFamme在Photogrammetric Engineering杂志上发表了题为“The digital terrain model: theory and application”的论文，首次提出了数字地形表达的概念：数字地面模型，
英文名为Digital Terrain Model，简写为DTM。在随后的四十余年间，数字地面模型在测绘和遥感、农林规划、土木工程、军事、地学分析等领域得到广泛深入地研究。地形表达从模拟表达时代走向数字表达时代。
2．数字高程模型定义
数字高程模型是对二维地理空间上具有连续变化特征地理现象的模型化表达和过程模拟，英文名称为Digital Elevation Model，简称DEM。简单地说，DEM即空间起伏连续变化现象的数字化表示和分析工具的集合。
数学意义上的数字高程模型是定义在二维空间上的连续函数。由于连续函数的无限性，DEM通常是将有限的采样点用某种规则连接成一系列的曲面或平面片来逼近原始曲面，因此DEM的数学定义为区域D的采样点或内插点Pj按某种规则连接成的面片M的集合：
(1.1)
连接规则构成DEM的数据结构，可以是呈规则分布的格网或不规则分布的格网。特别地：当为正方形格网时，这时的DEM称为基于格网的DEM（grid based DEM）。由于正方形格网的规则性，格网点的平面位置隐含在格网的行列号中而不纪录，此时的DEM就相当于一个n行m列的高程矩阵：
(1.2)
数字高程模型是对二维地理空间上具有连续变化特征地理现象的模型化表达和过程模拟，英文名称为Digital Elevation Model，简称DEM。简单地说，DEM即空间起伏连续变化现象的数字化表示和分析工具的集合。
数学意义上的数字高程模型是定义在二维空间上的连续函数。由于连续函数的无限性，DEM通常是将有限的采样点用某种规则连接成一系列的曲面或平面片来逼近原始曲面，因此DEM的数学定义为区域D的采样点或内插点Pj按某种规则连接成的面片M的集合：
(1.1)
连接规则构成DEM的数据结构，可以是呈规则分布的格网或不规则分布的格网。特别地：当为正方形格网时，这时的DEM称为基于格网的DEM（grid based DEM）。由于正方形格网的规则性，格网点的平面位置隐含在格网的行列号中而不纪录，此时的DEM就相当于一个n行m列的高程矩阵：
(1.2)
由于采样点分布的不规则性，规则格网DEM一般通过内插方式得到。
当为三角形时，这时实质上是用互不交叉、互不重叠的连接在一起的三角形网络逼近表面（图1.2），这时的DEM称为基于不规则三角网的DEM（Irregular Triangulated Network based DEM，简写为TIN based DEM），基于TIN的DEM表示为三角形T的集合：
（1.3）
式中：是三角剖分准则。
当为三角形时，这时实质上是用互不交叉、互不重叠的连接在一起的三角形网络逼近表面（图1.2），这时的DEM称为基于不规则三角网的DEM（Irregular Triangulated Network based DEM，简写为TIN based DEM），基于TIN的DEM表示为三角形T的集合：
（1.3）
式中：是三角剖分准则。
规则格网DEM和不规则三角网DEM |
基于规则格网的DEM和基于不规则三角网的DEM是目前数字高程模型的两种主要结构。由于规则格网DEM在生成、计算、分析、显示等诸多方面的优点，因此获得最为广泛的应
用，以致于一提到DEM，人们往往认为就是规则格网 DEM，从目前的发展趋势看，DEM已经成为规则格网DEM的代称，而事实上二者并不一致。同时人们也将基于不规则三角网的DEM简记为TIN。
地形表面是一个三维空间表面，但人们往往通过投影将三维现象表达描述在二维平面上，如等高线对地形起伏的表示。对DEM也不例外，它是在二维平面上对采样点集进行格网划分（规则或不规则），然后同第三维的高程值组合来模拟空间曲面，也就是说，在建立DEM网络时并不考虑网络在空间上的分布状态。因此DEM的实质是二维空间上的定位和数值描述，DEM只能表达在同一平面位置上仅有一个高程值的单值地理对象，对于地形上存在悬崖等需要进行特殊处理，在这一意义上DEM是2.5维而非三维。
地形表面是一个三维空间表面，但人们往往通过投影将三维现象表达描述在二维平面上，如等高线对地形起伏的表示。对DEM也不例外，它是在二维平面上对采样点集进行格网划分（规则或不规则），然后同第三维的高程值组合来模拟空间曲面，也就是说，在建立DEM网络时并不考虑网络在空间上的分布状态。因此DEM的实质是二维空间上的定位和数值描述，DEM只能表达在同一平面位置上仅有一个高程值的单值地理对象，对于地形上存在悬崖等需要进行特殊处理，在这一意义上DEM是2.5维而非三维。
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