相似模型(二):子母型(斜A图)

感受相似的基本模型之二（子母型）

熟悉已知与结论，熟练套路与思路

编制人：平生曜曜

三、子母型（斜A小套图，斜A大套图）

（一）、斜A型小套图（特征：大⊿被分割为，小⊿和四边形）

1、

如右图，已知: 在⊿ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若∠ADE=∠C，

（1）、求证：⊿ADE∽⊿ACB；（2）、若AD=5，AE=7，AC=10，BC=12，求DE、AB.

解：（1）、∵，又∵ ，

ADEC

∴ ⊿ ∽ ⊿ （理由： ）；

ADE

（2）、由⊿ ∽ ⊿得：

ADE

ACB

D

A

ADDEAE



即：， ∴ ， .



E

C

，

B

5DE7



DEAB

1012AB

2、

抗干扰训练

如图，若不知道DE是否平行BC（但显然有∠A＝∠A），则：

①、当∠AED＝∠ 时，可得⊿ADE∽⊿ACB；

②、当∠AED＝∠ 时，可得⊿ADE∽⊿ABC；

③、当∠ADE＝∠ 时，可得⊿AED∽⊿ACB；

④、当∠ADE＝∠ 时，可得⊿AED∽⊿ABC；

B

D

E

C

A

AD



⑤、当时，⊿ADE∽⊿ABC，理由是

AE





ADAE

（选填AA，SAS ，SSS），其中的“A”指的是∠ ＝∠ ；

⑥、当时，⊿ADE∽⊿ACB，理由是



AD



AB



（选填AA，SAS ，SSS），其中的“A”指的是∠ ＝∠ ；

⑦、当时，可得⊿ADE∽⊿ACB，理由是





（选填：AA，SAS ，SSS）；

1 / 7

⑧、当时，可得⊿ADE∽⊿ABC，理由

AD



AB





D

A

是 （选填：AA，SAS ，SSS）；

⑨、利用时，

E

C

ADDEAE



ADDEAE



B

可直接得到：⊿ADE∽⊿ACB，理由是 （选填：AA，SAS ，SSS）；

⑩、利用时，可直接得





到：⊿ADE∽⊿ABC，理由是 （选填：AA，SAS ，SSS）；

〈总结3〉：

在“斜A型小套图”中，究竟有无相似三角形，这需由其他已知条件来

定夺。情况讨论：①、当DE∥BC时，“斜A小套图”就变为“A型图”；②、当DE不∥

BC时，若下面“四边形的外角”等于它的内对角，则由“AA”可得出小⊿与大⊿相似；

③、若夹“公共角”的四条边对应成比例，则由“SAS”可得出小⊿与大⊿相似，但要

留意三角形顶点的对应关系；

（二）、斜A型大套图（特征：大⊿被分割为，两个小⊿）

1、

如右图，已知在⊿ABC中，点D是AB边上的点，

（1）、若∠ADC=∠ACB，求证：；

ACAD•AB

（2）、若，求证：∠ADC=∠ACB；

ACAD•AB

证明：（1）、∵，又∵ ， ∴ ⊿ ∽ ⊿ ，

ADCACBADC

∴ ，即有： ；

2

2

A

D

B

C

ADCDAC



2





AC

2

（2）、∵， ∴ ，

ACAD•AB

AC





AC

又∵ ， ∴ ⊿ ∽ ⊿ （理由： ），

ADC

∴ .

ADC

2 / 7

〈总结4〉：

在斜A型大套图中，自然有“共角、共边”的事实存在，在此基础上，

①、当还能找到“第二组”角对应相等时，必能由“AA”导出相似⊿。届时再书写出

“六条边”组成的比例式，就能捕获一个有趣的结论，即该“共边、共角”的两个⊿,

会因相似而获得“”的结论。

公共边（共线的）两边之积



2

②、当不能找到“第二组”角对应相等，但能发现有

“”的特性时，必能由“SAS”导出相似⊿。届时

公共边（共线的）两边之积



2

再选择运用“其余”两组角对应相等，或第“三”组对应边的比也等于“相似比”去

解决后续问题。

2、

如右图，已知在⊿ABC中，点D是AB边上的点，

（1）、若∠ACD=∠B，AD=4，BD=6，求AC的长；

（2）、若、、，

AD23BD33

AC32

B

D

A

C

问 ：∠ACD=∠B吗？ 为什么？

解：（1）、∵ ，∴ ⊿ ∽ ⊿

ACD

（理由： ）， ∴ ，

ACAD





即： ， ；

AC

44640



AC

2

〈老师对第（2）题的解法〉：

（2）、本帅认为：∠ACD=∠B，理由如下：

∵ ，

AD•BD2333

而 ……（第a步）

AC32

2

A



2

D

AC

B

C

2

∴……（第b步）

ACAD•BD





AC

又∵ ，∴ ⊿ ∽ ⊿……（第c步）

A

ACDABC

∴……（第d步）

ACDB

哈！请问这位“帅哥”是从第 步开始犯错的。那么，本题咋做呢？

3 / 7

继续2题：

如右图，已知在⊿ABC中，点D是AB边上的点，（1）、……；

（2）、若、、，问∠ACD=∠B吗？ 为什么？

AD23BD33

AC32

〈小明对第（2）题的解法〉：

解：我认为：，理由如下：∵、、

ACDB

AD23BD33

AC32

∴ ，

AD23



AC

32

D

B

A

而 ，

AC32



AB

2333

C

∴， 又∵……，

ADAC



AA

标记为：式

ACAB

∴⊿与“不∽”⊿，∴.

ACDABCACDB

请问，同学们看懂以上解答过程了吗？你，真的看懂了吗？真能看懂吗？

〈重要点评与总结5〉：

①、在以上解答过程中，处的“”可以不

式

AA

写吗？答： ；②、如果两个⊿相似，那么它们的三组对应角都分别对

应相等，也就是说可以借助“相似”来证明“角相等”；③、如果两个⊿不相似，其

实它们也有可能存在“一组角”相等，所以不能“单纯地”借助两个⊿“不相似”来

说明“无等角”；④、在有“公共角”的情况下，要证明两个⊿相似，我们可以去寻

找并证明另一组角相等（AA），也可尝试去证明“夹”这个公共角的“四条边”成比

例（ ），但要留意对应关系。

继续2题：

如右图，已知在⊿ABC中，点D是AB边上的点，（1）、……；

（2）、若、、，问∠ACD=∠B吗？为什么？

AD23BD33

AC32

〈小王对第（2）题的解法〉：

解：我认为：，理由如下：假设，

ACDBACDB

又∵，

AA

那么必有：⊿ ∽⊿（理由： ），

ACDABC

4 / 7

A

D

B

C

可得：，

AC



ACAB•AD



AC

2

A

又已知：、、，

AD23BD33

AC32

∴，

AD•AB23533032

22



D

B

C

2

即：，这与上面的是矛盾的，

AB•ADACACAB•AD

所以当初的假设是错误的。 故：。

ACDB

〈总结6〉：

①、小王用的这种方法，在数学上称为“反证法”，这与“举反例”不

同。举反例是通过举一个或几个反例来说明原命题不对，而反证法属于一种严格的逻

辑推理证明。

②、用反证法来证明一个命题，可分三个步骤：反设、归谬、存真。反设就是假设原

命题的反面成立，归谬就是推出矛盾，存真就是肯定原命题是真命题。这三个步骤可

编个口诀为：一作假设，二推矛盾，三行反悔。

继续2题：

如右图，已知在⊿ABC中，点D是AB边上的点，（1）、……；

（2）、若、、，问∠ACD=∠B吗（本题待改编）？

AD23BD33

AC32

改为（3）：当、、 时，成立.

AD23

AC32

BD

ACDB

小通同学，根据老师的错解，能迅速看出答案是： 。

BD

请看，左手、右手，一个慢动作，右手、左手，慢动作重播：

〈小通对第（3）题的分析法〉：

分析：欲证，由于已知，所以只需证明：⊿∽⊿ 。

ACDBACD

AA

依据“SAS”模型，只需去证明“夹”公共角的“四条边”对应成比例，即需证：

ADAC





，即证：，

2332





AB

3BD

”成立。 即需使 ，从而需使“

B

D

A

AB

以上只是分析过程，解答过程又该怎样写呢？

5 / 7

C

〈解答书写1〉：

答案是，理由如下：

BD3

当，即当 时，

BD3

AB

A

ADAC



， ，

ACAB

∴成立，又∵，

D

B

C

ADAC



AA

ACAB

∴⊿ ∽⊿ ，则必有成立。

ACDACDB

〈点评〉：

这只是把以上的分析过程“倒着写”，感觉有点轻松、顺手。但作为老实

人，我要告诉大家，在欠缺预先的分析的情况下，这样的解答是有点困难、蹩脚的。

各路大神怎样选择解答方式，悉听尊便。

〈解答书写2〉：

答案是，理由如下：

BD3

当时，由于，必有⊿ ∽⊿ ，

ACDBACD

AA

∴，则。

ADAC





AB33

2332

32

BD3

AB

〈点评〉：

这是根据“存在性问题”的探索方式来采取执果索因，此乃官方通道，大

众通法。各路大神，作为过来人，我奉劝大家对此解答，要从众之，趋之若鹜之。

〈总结6〉：

①、小通同学对第（3）题的分析方法，在数学上称为“分析法”，即

分析未知找需知。遵循此方法，需要我们一步、一步地往上追溯使“结论”成立的前

提条件，或次生前提条件，直至追溯到某个已知条件为止，问题就解决了。显然分析

法的针对性强，但有时追溯到某一思路结点时，会发现有多个“思路支流”存在。届

时需要我们去作出“轮番尝试”，或依靠“图感”去引领思路，总之这是难度较大，

较为抽象的话题，不借助具体的题，不消耗较多，是枉求至的。

time

②、与“分析法”相对立的是“综合法”，即综合已知看可知。遵循此方法，需

要我们不断去揉合已知可知，发酵顺推，直至捕获最终结论。显然综合法要讲运气，

有时联想出了一抹多结论，却不能“明显察觉”到哪些结论才是对解决最终问题有帮

助的。所以综合联想需要“双靠”，一要靠近“最终目标”，二要依靠“图感、数感”，

6 / 7

其实这也是我们煞费心机地介绍“基本图形”、“基本模型”的原因所在，此二基本

重要得很，重要到狠。

③、运用基本图形、模型，尤其是通过“补”完图形，乃至是借助“构造”图形

来解决问题是几何的常态、雅致、愿望。对于其简单者，综合法已经绰绰有余，但对

其复杂者，综合法就力不从心，需要运用分析法来减负，来加油。分析未知，找需知，

按需补形，应需造形。让二者合击吧！综合已知看可知，分析未知找需知，可知、需

知相对照，寻求中介明方向。让二者交融吧！掠过崎岖山径，羊肠小道，踏上通法官

道、高质国道，任你展现出由心而发的创造性，甚至你能破茧，化蝶，觅入虫洞，飞

出九天，挣脱时空束缚，高屋高维建瓴。