《27[1].2 相似三角形》2013年同步练习

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2023年12月14日发(作者：)

《27.2 相似三角形》2009年同步练习

一、解答题（共27小题，满分0分）

1．如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于点E，若AC=a，BC=b，则DE的长为 _________ ．

2．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，DE⊥AM，垂足为E，若AB=6，AD=20，BM=8，求DE的长度．

3．（2004•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么

（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；

（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；

（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．

4．如图，在离某建筑物4米处有一棵树AB，在某时刻，将1.2m长的竹竿A′B′竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为

_________ 米．

5．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，那么这个正方形零件的边长应是 _________ mm．

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6．如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC的长为 _________

cm．

7．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为 _________ ．

8．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为 _________

时，△DAP与△PBC相似．

9．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点，若不考虑其它因素，该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为 _________ cm．

10．（2006•潍坊）晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．则路灯的高为 _________ 米．

11．（2006•安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m．他量得客厅高AB=2.8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF=3m．请你帮助汪老师解决下列问题：

（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？

（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？

12．▱ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD=1：3，EF交AC于G．若AC=20，则AG= _________ ．

13．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．

（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP= _________ ；

（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP= _________ ．

14．如图，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：BM•PA=PN•BP．

15．在△ABC中，AC=AB，∠A=36°，BD为角平分线，则△ABC和△BCD是什么关系？为什么？

16．如图，点C在△ADE的边DE上，∠1=∠2，

，请说明△ABC∽△ADE．

17．如图，，试说明：∠BAD=∠CAE．

18．如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△CBD？

19．如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥BC，交AC于点E，求证：AD：AC=CE：BD．

20．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．

2（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD=DF•DA；

（2）如图2，若过BD上另一点E作BD的垂线，分别交BA，BC的延长线于点F，G，又有什么结论呢？你会证明吗？

21．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．

求证：△ABC∽△FCD．

22．如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连接AF，交BC于点G，交BD于点E．

2试说明：AE=EG•EF．

23．（2003•长沙）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；

（3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．（计算结果可含根号）

24．（2008•宁夏）如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：

（1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；

（2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．

25．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．

26．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．

求证：BD•CF=CD•DF．

27．（2003•安徽）（创新学习）如图，等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．

设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．要求“正度”的值是非负数．

同学甲认为：可用式子|a﹣b|来表示“正度”，|a﹣b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

同学乙认为：可用式子|α﹣β|来表示“正度”，|α﹣β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？

（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；

（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．

《27.2 相似三角形》2009年同步练习

参考答案与试题解析

一、解答题（共27小题，满分0分）

1．如图，在△ABC中，∠C的平分线交AB于点D，过D作BC的平行线交AC于点E，若AC=a，BC=b，则DE的长为．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：本题中注意利用△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出．

解答：解：∵CD平分∠ACB，DE∥BC，

∴∠DCB=∠DCE=∠EDC．

∴DE=EC．

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．

∴．

设DE=x，

∴∴∴故应填，

，

．

点评：本题由CD平分∠ACB，DE∥BC得到DE=EC，主要考查的是相似三角形的对应边成比例．

2．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，DE⊥AM，垂足为E，若AB=6，AD=20，BM=8，求DE的长度．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质。

专题：计算题。

分析：首先根据已知条件可以证明Rt△ABM∽Rt△DEA，再根据相似三角形的对应边的比相等求出AM，根据勾股定理就可以求出DE的长．

解答：解：DE=12．

∵在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，

∴∠DAM=∠AMB．

∴Rt△ABM∽Rt△DEA．

∴．

在Rt△ABM中，AB=6，BM=8，

∴AM=10．

∵AD=20，

∴DE=12．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，并且运用了勾股定理．

（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；

（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；

（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；

（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；

（3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．

解答：解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．

∴OQ=6﹣t．

∴y=×OP×OQ=×t（6﹣t）=﹣t+3t（0≤t≤6）；

（2）∵y=﹣t+3t，

∴当y有最大值时，t=3

∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．

把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．

∴点C的坐标为（3，3）．

∵A（12，0），B（0，6），

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6

当x=3时，y=≠3，

∴点C不落在直线AB上；

（3）

①若△POQ∽△AOB时，②若△POQ∽△BOA时，，即，即，12﹣2t=t，∴t=4．

，6﹣t=2t，∴t=2．

∵0＜t＜6，

∴t=4和t=2均符合题意，

∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．

点评：本题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识点．要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．

4．如图，在离某建筑物4米处有一棵树AB，在某时刻，将1.2m长的竹竿A′B′竖直立在地面上，影长为2m，此时，树的影子照射到地面，还有一部分影子投影在建筑物的墙上，墙上的影子长为2m，那么这棵树高约为 4.4 米．

考点：相似三角形的应用。

专题：计算题。

分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度即可．

解答：解：∵CD长为2m，

∴CD在地上的影长为x1，1.2：2=2：x1，x1=∴AB在地上的影长为（4+∴（+4）：AB=：2．

）=m．

．

∴AB=4.4．

∴树高约4.4米．

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了方程的思想．

5．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，那么这个正方形零件的边长应是 48 mm．

考点：相似三角形的应用。

专题：计算题。

分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出边长．

解答：解：∵正方形PQMN的QM边在BC上，

∴PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴．

设ED=x，

∴PN=MN=ED=x，

，

∴x=48，

∴边长为48mm．

点评：本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．

6．如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC的长为 4.5 cm．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：根据平行的条件可以证明△CDE∽△CAB，DE=BE，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长．

解答：解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC．

∵DE∥AB，

∴∠ABD=∠BDE．

∴∠DBC=∠BDE．

∴DE=BE=3cm．

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB．

∴∴．

．

解得EC=4.5cm．

点评：根据相似三角形的对应边的比相等，可以把本题转化为方程问题进行解决．

7．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为 7：3 ．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：如图，过点A作AG∥DE，则△BEF∽△BGA，△AGC∽△DEC，由此得到EF：AG=BF：BA=BE：BG，AG：DE=CG：CE，又F是AB的中点，EF=3，BE=4，由此求出AG=6，BG=8，而DE⊥BC，∠C=45°，可以得到AG=CG=6，进一步得到EG=4，EC=10，从而可以求出DE，最后即可求出DF：FE．

解答：解：如图，过点A作AG∥DE

∴△BEF∽△BGA，△AGC∽△DEC．

∴EF：AG=BF：BA=BE：BG，AG：DE=CG：CE．

∵F是AB的中点，EF=3，BE=4，

∴AG=6，BG=8．

∵DE⊥BC，∠C=45°，

∴AG=CG=6．

∴EG=4，EC=10．

∴DE=10．

∴DF=7．

∴DF：FE=7：3．

故答案为：7：3．

点评：此题考查了相似三角形的性质与判定，还考查了辅助线的作法，解题的关键是准确找到适宜的辅助线．

8．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为

2，或4 时，△DAP与△PBC相似．

，

考点：相似三角形的性质；直角梯形。

专题：分类讨论。

分析：

当△DAP与△PBC相似，根据相似三角形的对应边的比相等可以求出，但应分当行讨论．

和两种情况进菁优网

解答：解：设AP=x，则BP=6﹣x，

∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠A=90°．

∴∠A=∠B．

（1）当（2）当时，△APD∽△BPC，时，△APD∽△BCP，，x=；

，x=2，或x=4．

∴所求的AP长为，2，或4．

点评：本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形的对应边的比相等．

9．如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB长30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC长为15cm，灯头的横截面△CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点，若不考虑其它因素，该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为 75 cm．

考点：相似三角形的应用。

专题：转化思想。

分析：此题是一道实际问题，根据题意可证明出△ABC∽△CDB，利用相似三角形的性质解答．

解答：解：∵AB⊥BD，AC⊥AB，

∴AC∥BD．

∴∠ACB=∠DBC．

∵∠A=∠BCD=90°，

∴△ABC∽△CDB．

∴2．

∴BC=AC•BD．

22222在Rt△ABC中，BC=AC+AB=15+30=1125，

∴15BD=1125．

∴BD=75（cm）．

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出BD的长度．

10．（2006•潍坊）晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．则路灯的高为 6.6 米．

考点：相似三角形的应用。

专题：应用题。

分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高即可．

解答：解：设路灯的高为x，

∵GH⊥BD，AB⊥BD，

∴GH∥AB．

∴△EGH∽△EAB．

∴①．

②．

．

，

同理△FGH∽△FCD∴∴解得EB=11，代入①得解得x=6.6（米）．

故答案为：6.6．

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高，体现了转化的思想．

（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？

（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？

考点：相似三角形的应用。

专题：应用题；综合题。

分析：（1）本题为综合性实际应用题，此类题目要认真分析所给条件，发现△ABC∽△GFA，从而可求出CD的值．

（2）可由题意列不等式解决问题．中考中关于实际经济生活的应用题为一大热点，题目文字多，数据多、数量关系多，因此理解题意，列出不等式、方程是关键，往往需要在给出的问题中设计不同的方案，进而比较择优，寻求最佳方案．

解答：解：（1）根据题意有AF∥BC

∴∠ACB=∠GAF，

又∠ABC=∠AFG=90°

∴△ABC∽△GFA．

∴

得BC=3.2（m）

CD=（2+3）﹣3.2=1.8（m）．

（2）设楼梯应建n个台阶，则解得14＜n＜16．

∴楼梯应建15个台阶．

点评：本题为综合运用相似、不等式等知识的实际问题．解题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用数学问题解答即可．此题考查了学生的实际应用能力．

12．▱ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD=1：3，EF交AC于G．若AC=20，则AG= 4 ．

考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质；平行四边形的性质。

专题：计算题。

分析：

首先求证出EO∥BC，得到EO=BC，然后根据平行线的性质求证出△AFG∽△OEG．进而得到AF：AD=1：3，AD=BC，所以，即，从而求出AG的值．

，因为解答：解：设AC的中点为O，连接EO，又E是AB的中点，

∴EO∥BC，又AD∥BC，

∴AF∥EO，

∴△AFG∽△OEG，

∴．

，

∵AC=20，O是中点，

∴OA=10，则GO=10﹣AG

∵AF：AD=1：3，

AD=BC，

∴=∴，

．

解得AG=4．

故答案为：4．

点评：本题考查平行线的性质以及相似三角形的性质．

13．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．

（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP= ；

（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP= ．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：几何图形问题。

分析：

（1）根据相似三角形的性质求出S△PQC：S△ABC=1：2，即两个三角形的相似比是1：2，进而求出CP的长；

（2）根据△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，PC+CQ=PA+AB+QB=（AB+BC+AC）=6，然后再根据相似三角形的性质求出PC的值．

解答：

解：（1）∵S△PQC=S四边形PABQ，且S△PQC+S四边形PABQ=S△ABC，

∴S△PQC：S△ABC=1：2．

∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC．

∴S△PQC：S△ABC=（∴PC=4×．

∴PC=．

（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，

∴PC+CQ=PA+AB+QB=（AB+BC+AC）=6．

∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC．

∴解得，．

．

22）=1：2．

2点评：本题考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．

14．如图，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：BM•PA=PN•BP．

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题。

分析：根据所证的条件分析，本题需要证明△BMP∽△PNA求解；通过证明∠B=∠APN，∠BPM=∠A，即可得出△BMP和△PNA相似．解题时要注意选择适宜的判定定理．

解答：证明：∵△PMN为等边三角形，

∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°，

∴∠BMP=∠PNA=120°．

∵∠BPA=120°，

∴∠BPM+∠APN=60°．

在△BMP中，∠B+∠BPM=60°，

∴∠B=∠NPA，

∴△BMP∽△PNA，

∴，

∴BM•PA=PN•BP．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，判定两三角形相似的方法有：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；

④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

15．在△ABC中，AC=AB，∠A=36°，BD为角平分线，则△ABC和△BCD是什么关系？为什么？

考点：相似三角形的判定。

专题：几何图形问题。

分析：本题可以根据“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（AA）”来进行判断．在等腰△ABC中，已知了∠A=36°，可得出∠ABC=∠ACB=72°；而BD平分∠ABC，因此∠ABD=∠CBD=36°，由此可得出∠CBD=∠A=36°，即可判断出所求的两三角形相似．

解答：解：△ABC∽△BCD，理由如下：

∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=∠ABC=72°；

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°；

∴△ABC∽△BCD．

点评：本题主要考查相似三角形的判定方法．

16．如图，点C在△ADE的边DE上，∠1=∠2，

考点：相似三角形的判定。

，请说明△ABC∽△ADE．

专题：证明题。

分析：根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定．

解答：解：∵∠1=∠2，

∴∠BAC=∠DAE，

∵∴，

，

∴△ABC∽△ADE．

点评：此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

17．如图，，试说明：∠BAD=∠CAE．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，可以证得∠ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应角相等，可证得解．

解答：

证明：∵∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．

18．如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ACB∽△CBD？

，

考点：相似三角形的判定。

分析：根据如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；可知当满足AC：BC=BC：BD时，两三角形相似，因此只需将a、b代入比例关系式中进行求解即可．

解答：解：∵∠ACB=∠CBD=90°，

∴当∴BD=时，即当．

时，△ACB∽△CBD．

时，△ACB∽△CBD，

因此当BD=点评：本题主要考查相似三角形的判定，方法有：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；

④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

19．如图，在△ABC中，∠A与∠B互余，CD⊥AB，垂足为点D，DE∥BC，交AC于点E，求证：AD：AC=CE：BD．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：由结论分析可得，只要证明△ADC∽△DEC即可，根据题意可得：∠ACB=∠ADC=90°，又因为平行，可求得∠CED=90°，又因为∠ECD=∠DCA公共角相等，即可证得．也可采用间接法，如解答过程．

解答：证明：∵∠A与∠B互余，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴．

∵DE∥BC，

∴△ECD∽△BDC，

∴，

∴AD：AC=CE：BD．

20．如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．

2（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD=DF•DA；

（2）如图2，若过BD上另一点E作BD的垂线，分别交BA，BC的延长线于点F，G，又有什么结论呢？你会证明吗？

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可以证得△DCE∽△DBC，△DEF∽△DAB；根据相似三角形的对应边成比例，即可证得．

（2）利用上题的方法，可以得到比例线段，将其变形，可得到等积式．

解答：证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，

∴△DEF∽△DAB，

∴DE：DA=DF：DB，

∴DE•DB=DA•DF，

∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，

∴△DEC∽△DCB，

∴=2，

∴DC=DE•DB，

又∵DE•DB=DA•DF，

∴CD=DF•DA．

（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ABD=∠EBF，

∴△DAB∽△FEB，

∴DB：FB=AB：EB，

∴BE•BD=AB•BF．

同理△DBC∽△GBE．

∴DB：GB=BC：BE．

∴BE•BD=BC•BG．

∴AB•BF=BC•BG．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．

21．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．

求证：△ABC∽△FCD．

考点：相似三角形的判定。

专题：证明题。

分析：根据已知利用有两组角对应相等的两个三角形相似来证明．

解答：证明：∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD，

∵D为BC中点，且DE⊥BC，

∴EB=EC．

∴∠B=∠DCF．

∴△ABC∽△FCD．

点评：此题主要考查学生对有两组角对应相等的两个三角形相似的运用．

22．如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连接AF，交BC于点G，交BD于点E．

试说明：AE=EG•EF．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：

根据结论分析与边AE，EC，EF有关，将其变形得△DEF∽△BEA，通过比例式关系即可证得．

解答：证明：∵AD∥BC，

∴△ADE∽△GBE，

∴．

，根据图形分析得，需要证明△ADE∽△GBE，∵DF∥AB，

∴△DEF∽△BEA，

∴2，∴．

∴AE=EF•EG．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

23．（2003•长沙）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．

（1）求证：△ABF∽△EAD；

（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；

（3）在（1）（2）的条件下，若AD=3，求BF的长．（计算结果可含根号）

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。

专题：几何综合题。

分析：（1）根据题意可求得：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可证得△ABF∽△EAD；

（2）由直角三角形的性质，即可求得；

（3）根据相似三角形的对应边成比例，求得．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠C+∠ADE=180°．

∵∠BFE=∠C，

∴∠AFB=∠EDA．

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠AED．

∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，

∴∠ABE=90°，

∵AB=4，∠BAE=30°，

∴AE===．

（3）解：∵△ABF∽△EAD，

∴．

∴BF=．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

24．（2008•宁夏）如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：

（1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；

（2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．

考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；圆周角定理。

专题：证明题；开放型。

∠BCA=∠CBD；再根据AD=AD、∠AEB=∠CED，可得出的全等三角形有：①△ADB≌△DAO（SSS）；②△ABE≌△DCE（AAS）；③△ABC≌△DCB（AAS）．

（2）BD平分∠ADC，那么弧AB=弧BC=弧CD．可根据圆周角定理得出的相等角进行判断．

解答：解：（1）图中共有三对全等三角形：

①△ADB≌△DAC，②△ABE≌△DCE，③△ABC≌△DCB；

选择①△ADB≌△DAC证明：

在⊙O中，∠ABD=∠DCA，∠BCA=∠BDA，

∵BC∥AD，

∴∠BCA=∠CAD．

∴∠CAD=∠BDA．

∵AD=AD，

∴△ADB≌△DAO．

（2）图中与△ABE相似的三角形有：△DCE，△DBA，△ACD．

点评：本题主要考查全等三角形和相似三角形的判定，根据平行线和圆周角定理得出的角和边相等是证三角形全等或相似的关键所在．

25．（2000•河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．

考点：等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：（1）利用△ACP∽△PDB的对应边成比例和等边三角形的性质可以找到AC、CD、DB的关系；

（2）利用相似三角形的性质对应角相等和等边三角形的性质可以求出∠APB的度数．

解答：

解：（1）当CD=AC•DB时，△ACP∽△PDB，

∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD=∠PDC=60°，

∴∠ACP=∠PDB=120°，

若CD=AC•DB，可得：PC•PD=AC•DB，

即=，

22则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB

（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD

∵∠PDB=120°

∴∠DPB+∠DBP=60°

∴∠APC+∠BPD=60°

∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°

点评：此题是开放性试题，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性质．

26．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．

求证：BD•CF=CD•DF．

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据要证明的结论分析得，需要证明△FDB∽△FCD，∵∠F=∠F，再求得一个角相等即可，又CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，∴DE=AE．通过外角及对顶角的性质即可求得∠FBD=∠FDC，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似即可证得相似，根据相似三角形的对应边成比例求得．

解答：证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，

∴DE=CE=AE=AC，

∴∠EDA=∠A．

∵∠EDA=∠FDB，

∴∠A=∠FDB．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠A=∠FCD，

∴∠FDB=∠FCD．

∵△FDB∽△FCD，

∴BD：CD=DF：CF．

∴BD•CF=CD•DF．

点评：此题主要题考查了相似三角形的判定和性质：