毕业论文与矩阵A可交换的矩阵构成线性空间的维数

与矩阵A可交换的矩阵构成线性空间的维数

摘要：针对任意的n阶矩阵A,基于它的特征矩阵的标准型,讨论与A可交换的矩阵所构成线

性空间{X|AX=X A}的维数的计算.

关键词：可交换矩阵 特征矩阵 标准型 维数

目录

引言

对任意给定的n阶矩阵A,与A可交换的矩阵可构成一个线性空间



X|AXX A



.从关系

式AX=XA出发,若A已知,可得到一个由

n

个方程构成的齐次线性方程组.这个关于X中元

素的齐次线性方程组的解空间维数就是线性空间{X|AX=X A}的维数.文献[2-3]利用2个相

似矩阵其可交换空间的维数是相同的，通过研究矩阵的若当相似矩阵的可交换空间，从而得

到矩阵的可交换空间的维数公式。文献

[4]

通过将矩阵A化成若当标准型，得出部分矩阵可

交换的充要条件。本文针对该线性空间维数的计算提出一种新的方法。具体的，从A的特

征矩阵和所得到的线性方程组的系数矩阵的矩阵分块的相似结构出发，通过研究A的特征

矩阵的标准型推导出该线性空间维数的计算公式。

定义与引理

定义1 n阶矩阵A的全体可交换矩阵可以构成一个

P

记为C(A)。

nn

2

[1]

的子空间，称为A的可交换空间，



A

n

1





定义2若准对角阵











B

n

1













A

n

2









的可交换矩阵均是准对角矩阵



A

n

m





B

n

2









，其中

n

i

表示

A

n

i

,

B

n

i

的阶数，i=1,2，



B

n

m





，m，则称矩阵

A

n

1

，

A

n

2

，

,

A

n

相互独立。

m

引理

1

[5]40

复数域上的n级矩阵A的同一特征值



对应的若当块的个数等于齐次线性方程组

（



E-A）X=0的解空间的维数

m

1

。