欧式几何

2023年4月22日发(作者：外墙保温材料一般用什么材料)

欧式几何VS非欧几何

1什么是欧式几何？

2.欧式几何的来源？欧几里得

3欧式几何公理有哪些？

4欧式几何的缺陷——出现非欧几何

5什么是非欧几何？

包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何

黎曼（德）————黎曼几何

6三种几何的关系

欧式几何

欧几里得几何简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊

数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究

图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了

欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认

识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平

面几何”与“立体几何”。

亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330年—

前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公

元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》

是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史

上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及

数论的作品,是几何学的奠基人

欧式几何公理

欧式几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的

“真命题”。

欧式几何的五条公理是：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延伸成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一

个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直

角，则这两条直线在这一边必定相交。

导出命题

第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平

行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这

条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公

理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一

般的几何，即绝对几何。）

从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有

定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段

为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形

的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此，许多

公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。

非欧氏几何

非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，

可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不

正交（即不成90度）

例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平

面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，

欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之

间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经

过球面） 欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的

非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意

义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何

学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是

指罗式几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五

公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。

有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题

中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠

第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不

能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长

达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。

由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的

对不对？第五公设到底能不能证明？

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设

的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用

它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开

一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了

第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷

所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：

第一， 第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的

新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几

何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出

的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普

遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

罗式几何

罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公

理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公

理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内

容不同的新的几何命题。

我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。

因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗

式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式

几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：

欧式几何 罗式几何

同一直线的垂线和斜线相交。 同一直线的垂线和斜线不一定相

垂直于同一直线的两条直线或向

平行。 垂直于同一直线的两条直线，当两

存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点可以做

且仅能做一个圆。

从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的

直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被

接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作

一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。

交。

端延长的时候，离散到无穷。

不存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定

能做一个圆。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝

试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这

就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里

得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾

了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入

研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，

他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

黎曼几何

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都

是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直

线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直

线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线

平行”？黎曼几何就回答了这个问题。

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何

学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片

新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交

点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限

演唱，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的

广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关

于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀

的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何

的观念是相似的。

此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，

也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

三种几何的关系

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自

所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和

独立性。因此这三种几何都是正确的。

在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，

欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；

在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。